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センター数学

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1/15 18:06
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のこのこ

高3 埼玉県 上智大学志望

センターの数学の集合の分野が苦手です。 考えていると時間がなくなってしまうので、大体の検討でマークをして、最後に戻ってこようとするのですが、時間が間に合いません。 センターが近づきこのままでいいのか不安です。 どのように解き進めたらいいのか教えてください。 あと、もう一つ。 センター試験でシャーペンで計算するのは可能でしょうか。

回答

ROX

早稲田大学先進理工学部

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センター試験の集合は、実数の集合を扱うことが多いため、数直線上に図示するのが有効なことが多いです。 目盛の間隔を正確に図示する必要はなく、それぞれの端の大小と、黒丸白丸があっているかが重要です。(黒丸の場合はその点を含む、白丸の時はその点を含まないことを表します。不等号に=が入っているかどうかの違いとも言えます。) 例えば、 p: x>1 q:x≦2 のように与えられていた時、右向きの数直線上に左から1と2の点を書きます。 pについては、x>1(つまり「xは1より大きい」)であることから、先ほど書いた1の点に白丸を書き、そこから右上がりに少し直線を書き、そこから右向きに直線を伸ばします。新幹線のような形になります。この形は、1の点を含まないことを表すもので、白丸と同じ意味ですが、ぱっと見で分かるように両方使います。また、この線がpであることをどこかに書いておいてください。 qについては、x≦2(つまり「xは2以下」)であるので、2の点に黒丸を書き、そこから真下に少し直線を書き、左向きの直線を伸ばします。こちらは、電車のような形になります。この形は、2を含むことを表すもので、黒丸と同じ意味です。こちらの線にも、qであることを書いておいてください。 このように、範囲を一つ一つ図示していくと、次のようになります。
_______________ p / 2 ---------○-----●------->x 1 | q --------------- これを見れば、「pかつq」や、「pまたはq」「p⇒q は真か偽か」はすぐに分かるはずです。たとえば「pかつq」なら、pとqが重なっているところなので、1<x≦2になります。「pまたはq」ならば、pとqの少なくともどちらかがある範囲なので、xは全ての実数になりますね。「p⇒qは真か偽か」については、pの中にqが含まれていないので、pならばqとはいえません。よって、偽となります。 上図の縦棒や斜め棒の長さを条件ごとに変えれば、一つの数直線にもっとたくさんの条件を書き込めます。そのようにして、一つの数直線に与えられた条件全てについて書いておくと、かなり簡単になると思います。 また、「(pかつq)または(rの否定)」といわれたときは、pとqとrとは別に、「pかつq」や「rの否定」についても書くと、分かりやすくなります。 加えて、たまに、条件式をそのまま使うと面倒くさいことがあります。そういう場合は、対偶を取るのが良いです。(そこまで多くはないし、絶対になければ解けないわけではないため、これ以後ついては忘れても大丈夫です) 「p⇒q」と、「(qの否定)⇒(pの否定)」(対偶)は同じ意味です。また、[(aかつb)の否定]と[(aの否定)または(bの否定)]は同じ意味です(ド・モルガンの法則)。これらをつかうことで、 ・「または」を「かつ」に変換できる ・aやbの代わりにaの否定やbの否定を使える という利点があります。このような利点が使えそう!と思ったら使ってみてください(とりあえずわかんなかったら対偶とってみる、っていうのも一つの手ではあります)。 ※(rの否定)などは、本来はrの上に横棒を書いて表します 至らないところもあったかもしれませんが、貴方の合格を願っています。それでは。

ROX

早稲田大学先進理工学部

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コメント(2)

ROX
1/15 18:09
すみません、シャーペンについて書き忘れてしまいました。センター試験はシャーペンの使用は可能です。計算など、マーク以外に使用することができます。
のこのこ
1/15 20:28
とても詳しい説明、ありがとうございます。 センターまで、数直線を使ってスピードアップを試みたいと思います!

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独自の定義、規則
 こういった問題独自の定義は、だいたい文字を含んでいることが多いです。例えば、 ・「nを正の整数とし、3^nを10で割った余りをanとする。」(東京大2016文系) ・「正の整数nの各位の数の和をS(n)で表す。」(一橋大2018) ・「nを2以上の整数とする。金貨と銀貨を含むn枚の硬貨を同時に投げ、裏が出た金貨は取り去り、取り去った金貨と同じ枚数の銀貨を加えるという試行の繰り返しを考える。初めはn枚すべてが金貨であり、n枚すべてが銀貨になった後も試行を繰り返す。k回目の試行の直後に、n枚の硬貨の中に金貨がj枚だけ残る確率をPk(j)(0≦j≦n)で表す。」(東北大2019文系) のように。あなたが挙げて下さった例でもそうですね。  ご存知のように、数学で文字が使われるのはそこに入る値が不特定であるときなので、逆にいえば、自分で具体的な値を代入して実験してみれば良いわけです。k-連続和でいえば、m=1、k=2とすると、3=1+2という等式になり、3は2-連続和であることになります(相談文のk+1はおそらくkー1の間違いですね。でなければ、nはk+2個の連続する自然数の和になってしまうので)。ちゃんと、n(3)がk(2)個の連続する自然数(1→2)の和であるという定義に則ってますね。2019年文系の確率も、例えばk=1を代入してみると、P1(j)は「n枚の金貨を同時に投げ、そのうちj枚が表で他が裏になる確率」のことを言っているのだとわかります(ちなみにこれは小問⑴)。反復試行の確率を考えればすぐ解けますね。すると、次はk=2、その次はk=3、と実験数をどんどん増やしていけば、Pk(j)の内容もいずれわかるはずです。試行の手順上、残るj枚は必ず全ての試行において表でなければならず、他方それ以外の金貨はすべて、k回のうちのどこかで裏が出ればいい(全て表で残る場合の余事象)わけですから、「n枚の金貨のうち、k回の試行の直後に残るべきj枚はk回とも全て表が出て、それ以外のn−j枚はk回の試行で少なくとも一回裏が出る確率」とわかります。ここまで日本語として簡略化できれば、Pk(j)(特に、k≧2)の値もそこまで苦戦せずに出せそうですね(ちなみにこれは小問⑵)。  このように、なるべく簡単な値から代入して実験を繰り返すことで、独自の定義が何を言っているのかは帰納的に理解できることが多いです。文字が多かったり、分かりにくい表現だったりして、複雑で難しく感じる定義が出てきたら、まずは実験してみることを心がけると良いと思います。文系の問題ですが、もしまだ解いてない場合はネタバレになってしまい申し訳ございません。
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