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1c:Td56,こんにちは。現在京大の理学部に通っているものです。受験数学に対しての自分の考えをお教えするので、疑問解消の一つの参考にしていただければ嬉しいです。

まず前提として、青チャートやFocus goldなどの網羅的な数学参考書というのは、解法を知り、武器を増やすためのものであって、難問に対する向き合い方をきたえるためのものではありません。青チャートをやったからと言って必ず難問を解く力が身につく訳ではないということです。さらに、解法を覚えるという点で見ても、力がつく方法とつかない方法とがあると思います。「問題の本質を理解しろ」とはよく言われることだとは思いますが、その所謂本質たる部分を自分の言葉で言えることが大事だというのが自分の考えです。問題の本質とは何かについては様々意見がありますが、自分が思うに、それは答案をつくるときの根幹となる操作・理由・着眼点を他の問題にも適用できるように抽象化したものです。例えばベクトルを用いる問題に対しては、細々とした操作はありますが、基底を選んでそれで他のベクトルを表現しに行くことが多くの問題で根幹にあります。そこを言語化出来ないのであれば、解法を体得して応用可能にしたとは言えず、逆に出来るのであれば、力がついたと言えるのではないでしょうか。

次に大切なのが、先に少し触れましたが、難問に対する向き合い方を鍛えることです。そこでやはり有効なのは、解法を身につけたうえでの演習です。ご友人のようにチャートとはことなる参考書に手を付けることが一番手っ取り早いでしょう。ただ演習をするうえでも気を付けてほしいことがあります。それは解法の習得の時と同様に、問題の本質たる部分を言語化することです。解けた解けなかったではなく、すべての問いに対してそこを明らかにしていくことで、初見の問題に対しても指針を立てて答案の根幹を見極める力をつけることができます。

加えて、これは答案を考えるというよりも答案の論理や細かなところをつめることにつながるのですが、なんとなく無意識で行っている操作・記述を、根拠をもって意識的に行う癖をつけることをお勧めします。例えば媒介変数を用いて表される曲線に対して、媒介変数を消去することによって曲線の方程式が得られることが挙げられます。あまり考えずに行っている人が多く感じますが、これは曲線が表式を満たす媒介変数が存在するような点の集合であるからと説明できます。このように論理を意識的に組み立てることで減点の要素を減らすことができます。ただ文系の場合はそこまでこだわらずとも大丈夫だと思いますので、オーバーワークにならない程度に意識してもらえればいいと思います。

上記のことを頭の片隅に置いて、演習を積んでいっていただければ幸いです。1d:T11fd,初めまして。

大学数学を理解していないと解けない問題とはどんな問題を指しているのでしょうか？私は受験生時代東北大の数学も13年分ほど解きましたが、そのように感じられる問題はなかった記憶です。

もちろん数3では高校範囲だと証明できないものがあります（中間値の定理等）。また、例えば「x>0のとき、不等式sinx>x-x^3/6を示せ」という問題であれば、不等式の右辺はどこから出てきたのだろうと思うことはあるかもしれません。

ですが総じて大学範囲を理解しなければならないことは問題にするほど多くないと思います。

私自身はこれまで数学にかなり没頭してきましたが、高校範囲で「受験勉強」として取り組んだ内容は無駄になったとは感じていません。少なくとも現在学んでいる微分積分学は数3をもっと厳密に、拡張したような話が多いですし、線形代数学は行列という新しい分野ですが、ところどころベクトルのときに学んだことが役立っているように感じます。

ですが、質問者様のように受験がそういったゲームのようになっているというのも分かります。昔中国では科挙という試験が実施されていましたが、その試験では漢詩を始めとした非常に多くのことを暗記して挑む試験でした。そして、その試験にさえ合格すれば将来は安泰どころか裕福に暮らせたようです。

現行の受験制度もある種そうなっているのでは無いでしょうか。ハッキリ言えば、高校生の勉強の受験ぐらいで上手くいかない人は「学問の学ぶ姿勢」を追求したところで自信で学び切ることは出来ないという根本的な考えがあるのだと思います。当然高校の勉強は出来なかったけど天才的な研究や発見をする人もいるのかもしれませんが、母数として多くないのは明白でしょう。

「たくさんの科目に手を出していることで、学問の本質を見失っている」という指摘については、私の意見としては「まだその指摘をするには早い」という感じですね。もちろん私がその指摘をするにもまだ早いです。大袈裟に言えば我々が寿命を迎えるときにはじめて「あの勉強はいらなかった」と思うことが出来ます。

結局この教育の根幹を作った人たちは、「幅広く学ばせて、どれかが当たればいいな」みたいな発想なのでしょう。

回答作成中に思ったことですが、数学より理科（物理、化学）の方が大学範囲を黙認することが多いですね。解く上で黙認すると言うよりは、その定義自体に黙認があったり。そもそも高校で学ぶ特に理系科目というのは、非常に限られた都合のいい場合のみ扱います。数学の条件付き極値問題であれば三角関数を使ったり線形計画法を使って上手く解けるような変数の次数になっていたり、物理の公式であればその厳密な証明が大学範囲の微分積分だったり、化学では条件が綺麗すぎたり。

学問というのは具体から始まると考えています。例えば物理学の、ニュートンの運動方程式は実験事実です。つまり実験（具体）を通して一般的に正しい（抽象）とされました。数学であれば、有名なフェルマーの最終定理がありますが、あの問題は初めからn一般について示された訳ではなく、まずはn=3,4,5と示されたのです。化学でいえば、周期表は具体→抽象の一例ではないでしょうか。

そういう観点で高校の学習を振り返ってみると、限られた場合にしか出来ないような解法、考え方であっても、今後「学問」を修めるにあたって抽象化するときに役に立つことでしょう。

以上。少々まとまりがない形になってしまい申し訳ありません。このような疑問をもてる質問者様は素晴らしいと思います。もしかしたら何かやりたい研究等があるのでしょうか。であれば私と同じですね。是非受験をパスしてやりたい学問に取り組み、貢献して欲しいですね。頑張ってください。応援しています。1e:T10ea,受験数学にひらめきは全く必要ありません。

実際、数学者と数学の得意な高校生が、受験数学で勝負すると高校生が圧勝します（実話です）。一体何が、高校生を勝たせるのだと思いますか？

受験数学には、確かに、「ひらめきのようなもの」を要求する場面があります。特に整数問題などで顕著ですが。しかし、ほとんどの問題は、今まで身につけてきた解法で対応できてしまうんですね。

例えばですが、多変数関数 f(x,y)の最大値、最小値を求めよという問題が出たとします。（f(x,y)の中身は、例えば、x^2 3xy y^2などですね。ここではそれは本質ではないのでスルーします。）その時、方針が何通りかあるんですが、それを列挙できますか？
あるいは、図形問題に対して、どのようなアプローチを考えるべきか説明できますか？
（答えはどちらも回答の最後に載せますね）

もし1つも分からない場合や、何個かしか挙げられない時は、少し補充的な勉強をする必要があります。
問題ごとに、それを解くための最適な方針がありますね。それをメモ程度で十分なので、どんどんまとめていってください。すると、多種多様に見える問題も、スタートは必ず同じことをしていたり、何個かのパターンの方針しか使っていなかったりします。本当はこういうことを分かっていくのは、問題演習を通してだんだん培っていくべきものなんでしょうが、99％の人は出来ないでしょう。僕も全然出来ませんでしたし。

なんにせよ、こういう「解法の整理」をしていくと、全く手が付かない問題はほとんどなくなってきます。途中までは行けるようになるんですね。そして、「ひらめき」は大抵こういう場面で使うものですね。例えば最後の最後に有名不等式を使ったりなどでしょうか。しかし、これすらも、方針としてカテゴライズすることが可能です。いわゆる純粋なひらめきは、受験数学においてはあり得ないといって良いでしょう。大抵、「閃かない」時は、解法が浮かばない時です。かなり具体的な問題に帰着できましたね。
僕は、ノートの見開き1ページに、この問題が来たら、この方針がよく登場する！というフローチャートのようなものを作っていましたね。頭の中が整理されていく感じがして楽しいですよ。

ちなみに、基礎ができていないということは、多少あるにせよ直接的な原因ではなく、いくら固めたところで、成果が微々たるものしか出ないので、気をつけましょう。青チャート、フォーカスゴールド、どちらも持っている時点でフル装備なので、多少の復習はもちろん必要といえども、頑張る必要はありません。

さて、先ほどの問題、わからずじまいは良くないですから簡単に
多変数関数の最大最小問題：
・等式があればxかyに代入してそれを消去する（いわゆる文字消去）
・xかyのどちらかを定数とみなし、ただの１変数関数とみなして考える（いわゆる文字固定）
・有名不等式の利用（相加相乗平均の関係、コーシーシュワルツの不等式、三角不等式など）
・逆像法
・線型計画法
・グラフを書いて考える
Etc.

図形問題のアプローチ
・まずは初等幾何で解けないか考える。
・次に、位置ベクトルを導入することで、内積などを利用して解けないか考える。
・もし対称性の高い図形だったら、座標平面を設定するのも考える。

僕がこの解法整理についての対策を編み出し、始めたのは12月の半ばです。今なら相当早いタイミングから対策できますから、ぜひ過去問での得点をぐんぐん挙げて、自信をつけていってほしいと思います。

では、有意義な秋をお過ごしください！1f:T16e1,⑴　数学を学ぶことの目的は何か
　およそ勉強をするにあたって、今自らが学びつつある学問が目的としているものが一体何であるのかを明確にすることは、いかなる内容の学習の際にも必要となる基本中の基本事項です。というのも、それがわからなければ、教えられることや教科書に書いてあることを暗記するよりほかに学習のしようがなく、結局いつまでたってもその学問について理解できる段階には至らないのは当然だからです（この勉強における目的意識の重要性については、末弘厳太郎先生の著書を読んだときに大いに感銘をうけた部分であり、私の勉強観の根幹を成しています）。
　ことに高校数学に至っては、その目的は「数学的に思考する力の涵養」であると言えましょう。微分や積分、指数対数、三角関数など、日常生活でこれらの知識が生きることはまず少ないでしょうし、ともすると、それらをはじめ数学的な知識の習得が目的としてあるとは考えにくい。にもかかわらず、数学において数学的な知識を習得させられるという実態を考慮すると、数学的な知識を習得することは目的ではなく手段であり、真なる目的は、与えられた問題をそれを使っていかに解決していくかという段階にあり、すなわち、数学的に物事を考えて問題の解決に取り組むその能力を養うことにあると考えられます。模試などの記述問題でも、解答部分よりもそれを導き出すまでの過程を重視して採点されることと思いますが、それもこのことを証左しているのではないでしょうか。
　では、数学的に物事を考えるとはどういうことをいうのかと問えば、（私は専門家ではないので適切な答えであるかどうかは定かではありませんが）それは恐らく、その場に適切な規則、原理（いわゆる定理や公式）をうまく活用して問題の解決を図ることだ、と考えられるでしょう。この点で数学は、事実を基にその場その場に適当な法理を見出し、それを使って問題の解決を図る法律学と似通っている部分があると思います。ただ、両者を決定的に異なるものたらしめる点は何かというと、裁判官による法理の解釈によって結論に一定の幅が出る法律学に対し、数学の規則は常に客観的に不変であるということ。これが、かえって数学における問題解決を簡単にする場合があるということです。

⑵高校数学の学習態度
　脱線が過ぎました。このように考えてみると、公式や定理を理解し、頭に入れることは単なる手段であり、実際にこれを活用できなければ意味がないということがわかるはずです。したがって、数学学習で最初に努めるべきは、公式・定理の理解です。数学Ⅱ、数学Ａ、数学Ｂをこれから先取りで学習しようと考えていらっしゃるようですが、これらに限らず、現在学んでいる数学Ⅰについても基本は一緒です。まずは教科書に出てくる公式や定理を理解することを心がけるとよいと思います。教科書にはそれらの証明、すなわちなぜその定理・公式が成り立つのかについても書かれていると思いますので、自分で証明でき、また人にそれを説明できるほどになれば立派なものです。
　単純に暗記するだけでは危険です。受験勉強ではとかく効率が求められがちですが、そうやって小さな部分を見落としても、本番でそれが問われて見事に足をすくわれるなんてことはざらにあります。いつしかの東大ではsinθとcosθの定義と加法定理の証明が、いつしかの阪大では点と直線の距離を求める公式の証明が出題されています。定理や公式を真に理解していれば、いずれも貴重な得点源となってライバルたちを出し抜くことも成し遂げえただろう問題です。こういった問題は、いつどこで出題されるか分かりません。

⑶問題演習の取り組み方
　さて、公式・定理を頭に入れるためには、同時にそれを正しく使える力も養う必要があります。上述したように、高校数学の目的は「数学的な思考能力の涵養」であり、いくら公式や定理を頭に入れてもそれを正しく使えなければ問題解決は難しくなります。なので、同時に問題演習にも取り組みましょう。最初は教科書に載っている基本例題から、だんだんと練習問題、章末問題、そして問題集の応用問題へと段階を踏んでいきます。問題演習を通じて、どういったところでどんな規則がどのように使えるのか、またなぜそのように使えるのかということを自分自身で見極めることを心がければ、複雑な問題にも対応できるだけの発展的な思考はおのずと身についていきます。

⑷問題集
　チャートについては、使ったことがないので色と難易度の関係などよくわかりませんが、高校1年生の初期から使うくらいですから、Focus GoldやNew Action（名前はうろ覚え）などと同じようなものだとしておきます。私の高校では、日々の課題は教科書や学校の問題集（4STEP）、長期休暇の課題として2:["$","main",null,{"className":"px-4 pt-4 pb-4","children":["$","div",null,{"className":"max-w-3xl mx-auto w-full","children":[["$","div",null,{"className":"mb-8","children":["$","$L7",null,{"href":"https://unilink-app.onelink.me/isbO/h6xeh63x?advice=TEwzg3YBTqPwDZPu05r7","target":"_blank","children":["$","$L8",null,{"src":"/images/web_to_app_banner.jpg","width":3660,"height":1500,"sizes":"100vw","style":{"width":"100%","height":"auto"},"alt":"UniLink WebToAppバナー画像","className":"mb-4 rounded"}]}]}],["$","h1",null,{"className":"text-xl font-semibold mb-2","children":"本質を理解するには？"}],["$","div",null,{"className":"flex justify-between mb-4","children":[["$","div",null,{"className":"text-left text-xs text-caption","children":["クリップ(",31,") コメント(",2,")"]}],["$","div",null,{"className":"text-right text-xs text-caption","children":"12/21 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mb-1","children":"こんにちは！東大理3のゆきです。まず、数学を勉強する上で最も意識すべきことは、「問題を見たときに解法の方針がすぐに思い浮かぶ状態」を目指すことです。単に解けたというレベルではなく、「この問題はこう考えるべきだ」という見通しが自然に浮かぶまで練習を重ねることが重要です。そのためには、一問一問を「なぜこの解法になるのか」と自問しながら取り組むことが必要です。公式や解法をただ覚えるのではなく、「なぜその式を立てるのか」「なぜその変形を使うのか」といった“理由”を意識することで、より深い理解が得られます。\n\nまた、問題を解くたびに「この問題はどういうタイプで、どんなアプローチを取るべきか」という視点で分類する習慣をつけることも大切です。青チャートなどの問題集を解き進める中で、「これは二次関数の最大最小の典型問題だな」などとパターンを意識して整理していくことで、類題に出会ったときにすぐに解法が浮かびやすくなります。\n\n勉強の進度としては、高3の4月までに数IA・ⅡBの基礎を一通り終えておくことが理想です。これは共通テストや志望校対策に十分な時間を残すためにも必要な目標です。具体的には、高2の夏までに数IAの基礎を固め、冬までに数Ⅱ、春までに数B（数列・ベクトル）を終わらせることを目指します。\n\nさらに、問題の本質を理解するためには、解答の手順を自分の言葉で説明できることがひとつの目安になります。誰かに「なぜその式を使うのか」「なぜその考え方が成り立つのか」と聞かれたときに、しっかり説明できる状態であれば、理解はかなり深まっているはずです。また、特に関数や図形の分野では、グラフや図を使って視覚的に理解することも効果的です。計算だけに頼らず、図からアプローチすることで、より直感的に問題の構造をつかむことができます。\n\n最後に、数学は積み重ねの科目なので、どれだけ“型”を身につけ、それを再現できるかが実力を決めます。ただし、それは暗記とは違い、「理由を理解した上で再現できるようにする」ことが重要です。青チャートの例題を使って、すぐに解法の方針が立てられる状態を目指して繰り返し練習していくことで、確実に力はついていきます。"}],["$","div",null,{"className":"flex 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mb-1","children":"数学の問題を解くということに対し、いくらか論理的に導くことができると思われてると思います。ある程度は、論理的思考が重要ですがやはり経験的なものが大きいです。前にみたことあるやこの考え方をしたことがある等そちらから導かれることの方が多いです。\n\n始めに数学を解く際の思考プロセスを紹介します。まず、問題文をよんでその後すぐに解法がでることはありません。状況を把握するため、図を書いたりしていろいろと試します。その際、問題の設定そして、出題者の意図(どんなことをして欲しいのか)を感じながら進めていきます。ここに、問題を解く鍵があり最も数学の根幹を成している部分です。そして、これを解くのは勘しかないです。しかし、この勘は経験から導かれることが多いです。\n\nこの勘は毎回の数学の問題を復習する際に、自分がなぜその公式あるいはその文字を置こうとしたのかまで気をつかうとかなり磨かれます。\n数学を勉強する際に最も重要部分です。ここに論理的思考を使います。自分の解き方が再現できるように言語化するのです。なぜ、自分がそうしたのかということを突き詰めてください。\n\n例えば、ベクトルでおいて問題を解いた際に\nなぜ自分はいまベクトルで置いたのか？\nそれは、座標で解くとなんかめんどくさそうだだとか？\nでは、なぜ座標では、めんどくさそうにみえたのか？\nそれは、前にここの問題で座標でおいて失敗した経験があるからだ！その際にベクトルを用いたから私はおこうとおもったのだ\nといったような完璧な論理ではなくてもかまいません。ただ、なぜそうしたのかを突き詰めていくことが重要です。\n\nそして、今回の質問に対してですが、まず(1)は前提条件でありこれをどう使えば、問題の答えに辿り着けるのだろうかと考えます。そして、最後どのような論法にもっていけばうまく行くのだろうかを想像します。ここから解くのは、前提条件からうまくいきそうと思う変形をし続けて解くか、最後を想像してここに持っていけば良いとどんどん目標を変えていくかしかないです。\n\n抽象的な話が続いていますが、やはり解法は問題によって違うので、普段からの積み重ねからでてくるものでこの問題はこう解くといった無敵の解法は存在しません。普段からの数学の復習の仕方に変化が少しでも起こることを期待しています。"}],["$","div",null,{"className":"flex 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