ひらめきが足りない
受験数学にひらめきは全く必要ありません。
実際、数学者と数学の得意な高校生が、受験数学で勝負すると高校生が圧勝します(実話です)。一体何が、高校生を勝たせるのだと思いますか?
受験数学には、確かに、「ひらめきのようなもの」を要求する場面があります。特に整数問題などで顕著ですが。しかし、ほとんどの問題は、今まで身につけてきた解法で対応できてしまうんですね。
例えばですが、多変数関数 f(x,y)の最大値、最小値を求めよという問題が出たとします。(f(x,y)の中身は、例えば、x^2 3xy y^2などですね。ここではそれは本質ではないのでスルーします。)その時、方針が何通りかあるんですが、それを列挙できますか?
あるいは、図形問題に対して、どのようなアプローチを考えるべきか説明できますか?
(答えはどちらも回答の最後に載せますね)
もし1つも分からない場合や、何個かしか挙げられない時は、少し補充的な勉強をする必要があります。
問題ごとに、それを解くための最適な方針がありますね。それをメモ程度で十分なので、どんどんまとめていってください。すると、多種多様に見える問題も、スタートは必ず同じことをしていたり、何個かのパターンの方針しか使っていなかったりします。本当はこういうことを分かっていくのは、問題演習を通してだんだん培っていくべきものなんでしょうが、99%の人は出来ないでしょう。僕も全然出来ませんでしたし。
なんにせよ、こういう「解法の整理」をしていくと、全く手が付かない問題はほとんどなくなってきます。途中までは行けるようになるんですね。そして、「ひらめき」は大抵こういう場面で使うものですね。例えば最後の最後に有名不等式を使ったりなどでしょうか。しかし、これすらも、方針としてカテゴライズすることが可能です。いわゆる純粋なひらめきは、受験数学においてはあり得ないといって良いでしょう。大抵、「閃かない」時は、解法が浮かばない時です。かなり具体的な問題に帰着できましたね。
僕は、ノートの見開き1ページに、この問題が来たら、この方針がよく登場する!というフローチャートのようなものを作っていましたね。頭の中が整理されていく感じがして楽しいですよ。
ちなみに、基礎ができていないということは、多少あるにせよ直接的な原因ではなく、いくら固めたところで、成果が微々たるものしか出ないので、気をつけましょう。青チャート、フォーカスゴールド、どちらも持っている時点でフル装備なので、多少の復習はもちろん必要といえども、頑張る必要はありません。
さて、先ほどの問題、わからずじまいは良くないですから簡単に
多変数関数の最大最小問題:
・等式があればxかyに代入してそれを消去する(いわゆる文字消去)
・xかyのどちらかを定数とみなし、ただの1変数関数とみなして考える(いわゆる文字固定)
・有名不等式の利用(相加相乗平均の関係、コーシーシュワルツの不等式、三角不等式など)
・逆像法
・線型計画法
・グラフを書いて考える
Etc.
図形問題のアプローチ
・まずは初等幾何で解けないか考える。
・次に、位置ベクトルを導入することで、内積などを利用して解けないか考える。
・もし対称性の高い図形だったら、座標平面を設定するのも考える。
僕がこの解法整理についての対策を編み出し、始めたのは12月の半ばです。今なら相当早いタイミングから対策できますから、ぜひ過去問での得点をぐんぐん挙げて、自信をつけていってほしいと思います。
では、有意義な秋をお過ごしください!