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軌跡

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1/12 15:48
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たまき

高2 北海道 大阪大学工学部(61)志望

媒介変数を消去して軌跡が出るのは何故ですか?xとyの関係式に持ち込むというのは分かるのですが、何故媒介変数を消去と軌跡が出るのか分かりません。原理を理解したいです。宜しくお願いします

回答

k.ogi

東京大学理科一類

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t→x、t→yの変換から上手くx→yの変換にしたいのでやっている操作はt→xの逆写像のx→tを用いてx→t→yです。これによりあいだにtをかましてx→yの写像が軌跡として現れるというのがザックリした説明になります。
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東京大学理科一類 k.ogi
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X(t)に関して 速度dx/dt=vとする。…① すると、加速度d^2x/dt^2=d/dt•(dx/dt)=dv/dt …② となる。 次にt(x)に関して dt/dx=1/(dx/dt)=(①を用いて)=1/v…③であり、 d^2t/dx^2=d/dx•(dt/dx)=(③を用いて)=d/dx•(1/v) (これは合成関数の微分に相当するので) =-1/v^2•dv/dx=(vの変数としてのxはかなり扱いづらいので、tに変数変換して)=-1/v^2•dv/dt•dt/dx となる。②、③を用いて変形すると、 d^2x/dt^2=-v^3•d^2t/dx^2 となる。あとは①を代入して、答えは {}=-(dx/dt)^3となります。 あってるかな、、?なんにせよこうゆうのにチャレンジしてみる姿勢は素晴らしいと思います。
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極限について
(以下、^は累乗演算を表します。例えば、e^xはeのx乗、3^2は3の2乗で9です。) 1-x = -yを代入します。 lim(x→1){x^(1 / 1-x)}=lim(y→0){(1+y)^-(1/y)} =lim(y→0){(1+y)^(1/y)^-1} = 1/ [lim(y→0){(1+y)^(1/y)}] []の中はeの定義よりeなので、答えは1/eとなります。 (eの定義:lim(x→0){(1+x)^1/x}=e)
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こんにちは。質問の内容を100%理解できたわけではありませんが、1つだけ条件?的なことを書きますね。説明になってないかもしれませんが、よろしくお願いします。 そもそも、t-8/t=2の方程式において、初期条件として、t≠0が条件として付いていることに気をつけてください。なので、t倍しようが、tの2乗倍しようが、そもそもにt≠0なので、t=0という解自体がこの問題には存在しないことになります。 もし、質問の回答になっていなかったら、メッセージでお願いします (T ^ T)
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数学が全然できるようにならない
こんにちは!RIZと申します。 問題集の問題は解けるけれど初見の問題では解けなくなるということですね。 まずとても当たり前の話をしますが、数学は問題文から解答を考えなければなりません。現在の、問題集の問題は解けるけれども初見の問題では手が止まってしまうというのは、単に問題集の答えを覚えているだけに他なりません。そこで、今回は初見の問題でも解けるようにするためにはどのようにすれば良いかについてお話しします。 前提として、数学の公式や定義はしっかり学習しているとします。もし質問文に書かれている数学用語というのがこうした公式や定義であるなら、定義はまずしっかり覚えてください。そして公式についてはできれば丸暗記するより、導出できるようにしたほうが良いです。ただもう時間があまりないので最悪丸暗記でもいいですが、導出できるようにすることで、なぜその公式が成り立つのか理解できるので覚えやすくもなりますし、もし忘れてしまっても対応できるようになるのでおすすめです。例えば三角関数の2倍角とか3倍角なんかは加法定理とか、数3ですがド・モアブルの定理などから簡単に導出できますよね。加法定理を毎回導出するのは流石に面倒ですが、2倍角や3倍角を加法定理から導出するのは少しの時間でできますよね。このようにあまり覚えていなくても簡単に導出できる公式はなるべく導出できるようにした方が良いです。 さて、話を戻しますが、以上のように公式や定義が頭に入っていることを前提として、初見の問題でどのように対処するべきかについてお話しします。まず冒頭でもお話ししたように、数学は問題文だけから解答を考えなければなりません。そこでまず、問題文の条件に着目します。条件というのはいろいろあります。例えばnを自然数とするとか、x、yが円の方程式を満たしているとか、垂直に交わるとか、さまざまです。他にも、直接的には書かれていないけれども重要な条件もあります。例えば与えられた式が対称式であるとかです。こうした条件から、解答を考えていきます。例えば上の例で言えば、nを自然数として、かつnに関する命題が与えられて証明しなさいといった問題であれば、自然数かつ証明問題であることから数学的帰納法が浮かびますし、x、yが円の方程式を満たしていて、かつx、yの2変数からなる関数の最大最小を考えたい時、xとyが円の方程式を満たすという条件から、θを媒介変数としてx、yをcosθとsinθで置くとかが考えられます。他にも、垂直に交わるという条件があれば、例えばその垂直に交わる直線の傾き同士の積は−1とか、内積0とか、あるいは図形的に三平方の定理を利用することも可能かもしれません。以上のように、条件を見たときにいろいろなことが考えられるようになることで、初見の問題で同じような条件が出てきたときに対応できます。もちろん入試問題というのは問題集には載っていない初見の問題である場合がほとんどです。なので普段解いている問題と全く同じでないのは当たり前ですが、条件に関して言えば部分的に共通していますよね。なのでこうしたことが想起できるようになれば、初見の問題でも対応できるようになるわけです。しかしこのように、条件を見てそこから解法を想起するというのは初見では無理ですよね。それを問題集から学ぶわけです。つまり、ただ問題を解いて、解けなかったら答えを見て覚えて終わりではなく、解法を見たとき、それが「なぜ」そうなるのかを考えます。そして、もし自分が初見でその問題を解くとしたら、まず問題文のどの条件に着目するのかを考えます。このようにすることで、解法のストックを増やしていくわけです。とにかく、解答を見たものでも初見だったらどうするのか、そして「なぜ」そうするのかまで説明できるようになることで、初見の問題でも、それまでストックした解法の引き出しから解法を想起でき、対応できるようになるわけです。なのでまずは今までやった問題集で、問題文のどの条件に着目して、「なぜ」その解答になるのか考えながら学習するようにしてみてください。以上になります。ご質問などありましたらコメント欄の方でお願いします!
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今からでも間に合いますか?
全然間に合います。 偏差値53とのことですが、もちろん受けた模試にもよりますが、基礎の部分がまだ全然完成していないんだと思います。 英語に関しては単語力が全然足りていなかったり、文法の理解がガタガタだったり、全然問題慣れしていなかったり…改善点はたくさんあると思います。 数学も同様で、いわゆる基本問題さえも解けなかったりするレベルなんじゃないでしょうか。 まずは教科書を読んで、基礎を理解していきましょう。 例えば、「y=x^2を微分したものにx=1を代入して求まる値はy=x^2のx=1における傾きなんだ」みたいに、微分を勉強するなら、微分する意味まで理解してほしいと思います。 それが応用問題への第一歩です。 他の分野も同様です。 社会も、例えば歴史であれば、細かい単語どころか、歴史の流れもまだ覚えられていないんじゃないでしょうか。 まずは、教科書を読むなりして、話の流れを掴みましょう。 「間に合うのかどうか」というのは受験生なら一度は経験する悩みです。 でも、間に合わないって言われて、諦められますか? 間に合わせるしかないですよね。 こんなことで、とまでは言いませんが、悩んでも何も変わらないので、とにかく目の前のやるべきことをきっちりやりましょう。 時間はたっぷりあります。
慶應義塾大学経済学部 sakumakk
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ひらめきが足りない
受験数学にひらめきは全く必要ありません。 実際、数学者と数学の得意な高校生が、受験数学で勝負すると高校生が圧勝します(実話です)。一体何が、高校生を勝たせるのだと思いますか? 受験数学には、確かに、「ひらめきのようなもの」を要求する場面があります。特に整数問題などで顕著ですが。しかし、ほとんどの問題は、今まで身につけてきた解法で対応できてしまうんですね。 例えばですが、多変数関数 f(x,y)の最大値、最小値を求めよという問題が出たとします。(f(x,y)の中身は、例えば、x^2 3xy y^2などですね。ここではそれは本質ではないのでスルーします。)その時、方針が何通りかあるんですが、それを列挙できますか? あるいは、図形問題に対して、どのようなアプローチを考えるべきか説明できますか? (答えはどちらも回答の最後に載せますね) もし1つも分からない場合や、何個かしか挙げられない時は、少し補充的な勉強をする必要があります。 問題ごとに、それを解くための最適な方針がありますね。それをメモ程度で十分なので、どんどんまとめていってください。すると、多種多様に見える問題も、スタートは必ず同じことをしていたり、何個かのパターンの方針しか使っていなかったりします。本当はこういうことを分かっていくのは、問題演習を通してだんだん培っていくべきものなんでしょうが、99%の人は出来ないでしょう。僕も全然出来ませんでしたし。 なんにせよ、こういう「解法の整理」をしていくと、全く手が付かない問題はほとんどなくなってきます。途中までは行けるようになるんですね。そして、「ひらめき」は大抵こういう場面で使うものですね。例えば最後の最後に有名不等式を使ったりなどでしょうか。しかし、これすらも、方針としてカテゴライズすることが可能です。いわゆる純粋なひらめきは、受験数学においてはあり得ないといって良いでしょう。大抵、「閃かない」時は、解法が浮かばない時です。かなり具体的な問題に帰着できましたね。 僕は、ノートの見開き1ページに、この問題が来たら、この方針がよく登場する!というフローチャートのようなものを作っていましたね。頭の中が整理されていく感じがして楽しいですよ。 ちなみに、基礎ができていないということは、多少あるにせよ直接的な原因ではなく、いくら固めたところで、成果が微々たるものしか出ないので、気をつけましょう。青チャート、フォーカスゴールド、どちらも持っている時点でフル装備なので、多少の復習はもちろん必要といえども、頑張る必要はありません。 さて、先ほどの問題、わからずじまいは良くないですから簡単に 多変数関数の最大最小問題: ・等式があればxかyに代入してそれを消去する(いわゆる文字消去) ・xかyのどちらかを定数とみなし、ただの1変数関数とみなして考える(いわゆる文字固定) ・有名不等式の利用(相加相乗平均の関係、コーシーシュワルツの不等式、三角不等式など) ・逆像法 ・線型計画法 ・グラフを書いて考える Etc. 図形問題のアプローチ ・まずは初等幾何で解けないか考える。 ・次に、位置ベクトルを導入することで、内積などを利用して解けないか考える。 ・もし対称性の高い図形だったら、座標平面を設定するのも考える。 僕がこの解法整理についての対策を編み出し、始めたのは12月の半ばです。今なら相当早いタイミングから対策できますから、ぜひ過去問での得点をぐんぐん挙げて、自信をつけていってほしいと思います。 では、有意義な秋をお過ごしください!
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標準問題精講に取り組めるレベルか
ご質問にお答えさせていただきます!東京大学理科一類現役合格の者です。 進研模試の数学の偏差値が64ほどということは、そこまで基礎がなっていないと言うことでもないように感じます。 現在高2ということはあと数ヶ月ほどで高3ですよね。京大志望ということであれば時間がとにかくないので、はっきり言って今の時期からの基礎問題精講は時間の無駄のように感じます。なおさら貴方のようにある程度できているようであればなおさらです。 もしそれでも問題が難しくて中々解き進められないと言う場合は、その分野の青チャートの例題をササッと確認して基礎を見直すと言うのが効率の良い勉強法だと思います。 また、とにかく解いていて楽しいと言うことであれば必ず成長できると思いますよ!苦でなければ人はある程度のことは続けられます。 ただ注意点として数学の解答例を見るときは式の操作の意味(目的)を常に意識してよむようにしてください。ここに大きな勉強の質の差が生まれると私は思っています。 簡単なたとえですが、放物線の二次式を見たら大抵の人は平方完成をまず行うでしょう。 ではそれはなぜでしょうか? 私たちは放物線を始めに学習したときにy=x^2からまず習い、次にy=x^2+cのy方向への平行移動を、そしてy=(x+b)^2のx方向への平行移動を、最後にy=ax^2の放物線の開き具合について習ったかと思います。これらをすべて組み合わせたのがy=a(x+b)^2+cという式になり放物線に関する諸情報が得られる訳です。 こんな風に解答にある式変形は「何の情報をどんな手段で導こうとしているのか」を常に意識し理解し自分のものに落とし込みましょう。ぱっと分からなかった場合は自分で書き込んでおくのもいいかもしれません。 また、解いた問題には何か記しやコメントを書いておくといいと思います。私の場合は、☆key問題、○普通に解けた、△少し迷ったけどなんとか解けた、×解けなかった、そのほかにも「良問!」「なるほど!」「分かるか~!」(コメントは割と自由)など書いていました。 そうすると復習をするときに見返しやすいですし、思い出しやすいように感じています! とりあえず標準問題精講レベルは春休みの間に修了することを目標にして、入試問題の王道的な解き方を習得しましょう。そうすれば高3から少し上の問題集や志望校の過去問演習にスムーズに取り組むことができるはずです。 他に何か質問があれば何なりとしてください。応援しています!
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河合塾のTテキストについて
240あったらほぼ確実にTだと思います。正直あのテキスト、特に英文解釈はめちゃくちゃレベルたかいです。よくポレポレが難しいと言われますがそれをを凌駕してると自分は思ってます。自分は前年にポレポレつかってましたが浪人生の時Tが十分すぎてほとんどポレポレは開きませんでした。ただあのレベルの文章を毎週解いて、読み込めばものすごく力はつきます!あと英文解釈と長文Tは音声ついてるのでそれを使ってガンガン音読しましょう。 英文解釈Tは元々東大、京大、阪大の難しい和訳問題を、ターゲットにあててつくられています。なのでよくそこいらへんの大学の問題もでてきますが、多くの早慶合格者が乗り越え糧にしてきたものです。てかむしろT使えない人達からは早慶ほぼでないです。自信もってください!てかTじゃないテキストの問題とか多分簡単すぎてやりごたえなくてつまんないと思います。
早稲田大学教育学部 小野D
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