数Ⅱ 図形と方程式 線分の内分点の軌跡
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Naoki
点Qが直線y=x+2上を動くとき、点A(1.6)と点Qを結ぶ線分AQを2:1に内分する点Pの軌跡を求めよ の答えが直線y=x+3になる理由がわからないです。
解き方を教えて下さい。
回答
たけなわ
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実数qを用いて点Qの座標を表すと、点Q2が直線y=x+2上にあることから、Q(q, q+2)となります。これと点A(1, 6)を結ぶ直線を2:1に内分する点がPなので、内分点の公式により、その座標はP((2q+1)/3, (2q+10)/3)となります。このとき、点Pのx座標とy座標の関係を式で表すと、x=(2q+1)/3、y=(2q+10)/3=(2q+1)/3+9/3であることから、y=x+3となります。よって、求める点Pの軌跡は直線であり、その方程式はy=x+3であると求められます。記述の際は、このあとに「逆に、点Pが直線y=x+3にある時 とき…」といった感じで、求めた答えがちゃんと必要十分となるように逆からの検証を補充する必要があった気がしますが、そういった細かい記述の要素については流石に覚えていないので、ご自身で教科書等を参照してください。数式が見づらかったら申し訳ありません。
コメント(4)
たけなわ
訂正
1行目「点Q2」→「点Q」
11行目「時 とき…」→「とき…」
たけなわ
因みに補論ですが、今、qの条件は実数とだけしか設定していないので、qはすべての実数値をとりうることになります。上の回答では、そのような、全ての実数値をとりうるqに対し、点Pにおいたy=x+3の関係式が成り立つということを言っているわけです。すなわち、点Qは直線y=x+2上の全ての点をとりうる点であり、かつ、直線y=x+2上のどこに点Qがあっても、点Pにおいて必ずy=x+3の関係式が成り立つということになるので、どんな点Pでも必ず直線y=x+3上にあることになるということです。問題の条件が複雑になればなるほど、求める軌跡にも条件が複雑に追加されていきます。今回の問題では、至ってシンプルな条件設定だったので、答えとなる軌跡も、簡単なもので済みました。
Naoki
ありがとうございます!
たけなわ
https://hiraocafe.com/note/kiseki.html
https://todai-counseling.com/?p=1814
上の2つは、軌跡の問題についてわかりやすく解説されているWebページです。宜しければ是非ご参考に。