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16:Ta94,間違っていたら申し訳ございません。それと、厳密な数学的記述はできてないと思うので、それもご容赦ください。ていうか、高校入試でこのレベルが出るんですね。私には大学入試のレベルに感じましたが……。

《考え方》
　mを自然数として、√(60x)が自然数となるときを、
　√(60x)＝m･･･①
という等式で表すことにします。
　√(60x)＝√(2^2 × 3 × 5 × x)
であるので、
　x＝3 × 5＝15
のとき、mは最小値30をとります。というのも、√(60x)が自然数であるとき、√の中身（＝60x）は平方数になっていなければならないわけで、平方数は素因数が全て偶数ずつある数なので、一つずつしかない3と5という素因数をもう一つずつ掛けてあげれば、それが最小の平方数になるからです。
　さて、60xは平方数にならなければならないというわけですが、以上で見たようにxは少なくとも3と5という素因数を一つずつ持っていることから、xは15の倍数であることが分かります。このことから、自然数kを用いて、
　x＝15k･･･②
と表しましょう。そうすると、①は、
　（√(60 × 15k)＝）√(900k)＝m
となります。これをさらに整理してやると、
　30√k＝m･･･③
となります。今、問題の条件では、mが100に最も近い整数でなければならないことから、mは100にはなり得ないのだろうと予想できます。そこで、ひとまず次の不等式でkの値を考えてみます。すなわち、
　30√k ＜ 100
です。両辺を30で割ると、
　√k＜100/30＝3.33……
が得られます。③より、√kは自然数でなければならないのだ、ここでは√k＝3が得られます。すなわち、
　k＝9･･･④
です。
次に、100に最も近い整数とは、100より大きい可能性もあるので、次の不等式でもkの値を考えてみます。すなわち、
　30√k＞100
です。上と同様に、
　√k＞3.33……
であり、√k＝4を得ます。すなわち、
　k＝16･･･⑤
です。
　④と⑤から、kの値である可能性のある数値が２つ得られたので、比べてみましょう。④、すなわち、k＝9のとき、これを③に代入すると、
　m＝90
を得ます。⑤の場合も同様で、
　m＝120
を得ます。より100に近い整数は、m＝90の方なので、k＝3が正解だとわかりました。したがって、②より、
　x＝15 × 9＝135
となります。これが解答です。1c:Tb60,一言でいえば「経験」です。
必要条件の利用は青チャートなどのいわゆる網羅系参考書などでは得られない少し発展的な技術ですが、数学がある程度得意な人は過去にやったことがあったり、習ったことがあったりとそれを利用した経験があるのです。
なので質問者さんももう少し経験を積めば普通に利用できるようになると思います。

ここで必要条件の利用に至るまでの思考回路の簡単な例を紹介しておきます。
問題
「k を正の整数とする. 5n^2 − 2kn + 1 < 0 ー①を満たす整数 n が，ちょうど 1 個であるような k をすべて求めよ.」
これは2008年の一橋の問題です。下にプロセスを書いてますが良問であり考えがいがあるので一回自力で考えてみてください。


まず大前提として数学における問題と解は全て必要十分性を保っている必要があります、従ってこの問題を解く際必要十分を保ちながら解く(同値変形)のと必要、十分を分けて解く2通りに分かれます。この問題では実数でなく整数の2次方程式であり同値変形で解くのはややこしい(できることはできます)と判断しまず必要条件から絞ろうと考えます。
この問題を考える際式①が成り立つとき5x^2-2kx+1=0(xは実数)が二つの異なる実数解を持つー②「必要」がある(つまり②は①の必要条件である)ことを利用します、そうすることによってkの条件が分かります。そのもとで①を満たす整数nがちょうど1個である条件は5x^2-2kx+1=0の二つの解(α、βとおく)の差が2未満ー③であればいいということがわかります。②と③から得られるkの範囲が5=<k^2=<30かつkは正の整数よりk=3,4,5であることがあることが必要。ということがわかります。これらを実際に①に代入し十分性を確認することで必要十分性が保たれるわけです。(解はk=4,5です)今は難しいかもしれませんが必要条件を使う問題にたくさん触れることでスッと理解できるようになると思います。また僕が思いつく限りでもあと2つ別解があるので3年生になってからでも良いので試してください。

また全てnについて(n,a,xについての式)がなり立つためのaの条件を求めよなどの問題でも全てのnってことはn=1,2でも成り立つ「必要」があるな、と思い試したりすることもよくあるので覚えといてください。

質問者さんはまだ高1ということで完全に理解することはむずかもしれませんが受験期になればきっと理解できると思うのでそれまで勉強に励んでください。1d:T1307,　確かに解法暗記は大切です。しかし、それを単純暗記で終わらせてしまっては危険です。京大の整数問題を例に見ていきましょう。

「n^3ー7n＋9が素数となるような整数nを全て求めよ。」（2018）
　この問題は、整数kを用いて、nを3k、3k＋1、3kー1とに場合分けして考えればすぐ解けます。しかし、この解法を単純に暗記しても、どこからこの解法を導く着想を得たのかが分からなければ、同じ解法を使う問題に対峙してもそれを見抜くことは困難です。この問題では、n＝1を仮に入れてみると、値は3で素数です。次に、n＝2を入れてみた場合、こちらも値は3で素数です。n＝3の場合は15で素数ではない、n＝4の場合は45で素数ではない、n＝5の場合は99で素数ではない……。ここで何か気づくでしょう。すなわち、実験して得られた値は全て3の倍数になっていることに気づくはずです。となれば、与式の取りうる値は全部3の倍数なんじゃないか？という疑いが生じるでしょう。この仮説を確かめるために、まずはすべてのnに対し与式の値は必ず3の倍数になるということを証明すればよいことになり、そのためにnを3で割った余りに注目して場合分けをするという解法に辿り着くわけです（したがって、modを使えばもっと楽な計算で証明できます）。(i)n＝3kの場合は言うまでもないとして、(ii)n＝3k＋1の場合、与式は27k^3＋27k^2ー12k＋3で、(iii)n＝3kー1の場合、27k^3ー27k^2ー12k＋15で、いずれも3の倍数になります。素数の中で3の倍数は3だけなので、結局この問題は、（与式）＝3という方程式を整数nについて解けば良いということになります。
　
　こんな感じで解法を深く見つめていくと、解ける問題も増えていきます。例えば、この問題。
「pが素数ならばp^4＋14は素数でないことを示せ。」（2021文系）
　p＝2のとき値は30、p＝3のとき値は95、p＝5のとき値は639、p＝7のとき値は2415、p＝11のとき値は14655……。p＝3のとき以外は、いずれも3の倍数です。よって、(i)p＝3のときと、(ii)p ≠ 3の時で場合分けをして、(ii)p ≠ 3のときでは、さらに(a)p ≡ 1（mod3）のときと、(b)p ≡ 2（mod3）のときとで場合分けして、p^4＋14が素数pに対し常に3の倍数となることを証明し、そのとき取りうる値は3のみであるが、p^4＋14はp＝2で最小値30であるから、3を取ることはない。したがって、p^4＋14は素数ではない、という解決ができるわけです。
　
　また、この問題も。
「素数p, qを用いて、p^q＋q^pと表される素数をすべて求めよ。」（2016理系）
　pとqの対称性からp≦qとしても一般性は失われないので、この大小関係のもと進めていきます。まず、2数の偶奇が一致するとき、その和は必ず偶数になりますが、pとqはいずれも素数なので、与式の取りうる値は最小でも8（p＝2, q＝2）であり、値が2となることはありません。このことから、与式の値は奇数であり、そのためにはp＝2でなければなりません（片方は偶数でなければならず、p^qが偶数となるのはp＝2の場合だけ）。すると、p＝2と固定して、qに3、5、7、11……と入れてみればいいわけです。q＝3のとき値は17で素数、q＝5のとき値は57で素数ではない、q＝7のとき値は177で素数ではない、q＝11のとき値は2169で素数ではない……。q＝3のときを除いて、すべて3の倍数ですね。しかし、この問題では、安易にqを3で割った余りで場合分けしてもうまくいきません。場合分けにさらなる工夫が必要になりますが、そこは自力でやってみましょう。

　上の問題は、いずれも同じところから解法の着想を得ていることがわかったと思います。と同時に、個別の問題にだけ通用するような覚え方をしても、似た問題ですら手が止まってしまうということも。やはり何事も、勉強というからには自分の頭で考えなければなりません。ただ単に、与えられた結果の知識や表現を覚えるだけではダメですね。その点、受験勉強は大変なものですが、そういったことも志望校という目標に向かって一途に続けられる人こそ、本番で勝っていく人たちなのでしょう。私も偉そうなことは言えませんがね。1f:Tc1f,　こういった問題独自の定義は、だいたい文字を含んでいることが多いです。例えば、
・「nを正の整数とし、3^nを10で割った余りをanとする。」（東京大2016文系）
・「正の整数nの各位の数の和をS(n)で表す。」（一橋大2018）
・「nを2以上の整数とする。金貨と銀貨を含むn枚の硬貨を同時に投げ、裏が出た金貨は取り去り、取り去った金貨と同じ枚数の銀貨を加えるという試行の繰り返しを考える。初めはn枚すべてが金貨であり、n枚すべてが銀貨になった後も試行を繰り返す。k回目の試行の直後に、n枚の硬貨の中に金貨がj枚だけ残る確率をPk(j)（0≦j≦n）で表す。」（東北大2019文系）
のように。あなたが挙げて下さった例でもそうですね。
　ご存知のように、数学で文字が使われるのはそこに入る値が不特定であるときなので、逆にいえば、自分で具体的な値を代入して実験してみれば良いわけです。k-連続和でいえば、m=1、k=2とすると、3＝1+2という等式になり、3は2-連続和であることになります（相談文のk+1はおそらくkー1の間違いですね。でなければ、nはk+2個の連続する自然数の和になってしまうので）。ちゃんと、n(3)がk(2)個の連続する自然数(1→2)の和であるという定義に則ってますね。2019年文系の確率も、例えばk＝1を代入してみると、P1(j)は「n枚の金貨を同時に投げ、そのうちj枚が表で他が裏になる確率」のことを言っているのだとわかります（ちなみにこれは小問⑴）。反復試行の確率を考えればすぐ解けますね。すると、次はk＝2、その次はk＝3、と実験数をどんどん増やしていけば、Pk(j)の内容もいずれわかるはずです。試行の手順上、残るj枚は必ず全ての試行において表でなければならず、他方それ以外の金貨はすべて、k回のうちのどこかで裏が出ればいい（全て表で残る場合の余事象）わけですから、「n枚の金貨のうち、k回の試行の直後に残るべきj枚はk回とも全て表が出て、それ以外のn−j枚はk回の試行で少なくとも一回裏が出る確率」とわかります。ここまで日本語として簡略化できれば、Pk(j)（特に、k≧2）の値もそこまで苦戦せずに出せそうですね（ちなみにこれは小問⑵）。
　このように、なるべく簡単な値から代入して実験を繰り返すことで、独自の定義が何を言っているのかは帰納的に理解できることが多いです。文字が多かったり、分かりにくい表現だったりして、複雑で難しく感じる定義が出てきたら、まずは実験してみることを心がけると良いと思います。文系の問題ですが、もしまだ解いてない場合はネタバレになってしまい申し訳ございません。20:T12ba,普遍的なことだけを説明しても中々伝わりづらいと思うので、具体的に問題を1問出しながら説明させてください！

まず前提として、応用の問題が解けるようになるためには以下のことが必要になります。(結論です)

・基本的な解法がすぐに出てくるようにする
・問題を見た時、前の問題との関連性から考えていく
・誘導に乗っていくのに慣れるのにはとにかく演習量が必要

1つ目は恐らく大丈夫だと思います。また、3つ目もこれから2次試験向けの演習を重ねるうちに「あの時の誘導に似てるなー」というような感覚で段々できるようになってくるものです。つまりは慣れです。自分自身もこれを強く感じています。最初は中々誘導に乗れず辛いかもしれませんが、まずは量をこなしましょう。

おそらく問題は2つ目です。
これは分かりやすく言うと、「こうやってやっていって…あ、(1)(2)ここで使う？」という考え方ではなく、「(1)や(2)の問題の考え方を上手く使えないかな〜」「今までやったことのある基本問題の考え方が何か使えないかな〜、あ、文章のこの部分前にやったあの問題文と似てるな〜」と言ったような、初めから誘導や基本問題などのヒントの方から答えを探っていくように考えていくことです(長くてごめんなさい)。

実際に問題を見て考えていきましょう！以下は2015年の九大の問題です。

以下の問いに答えよ。
(1)nが正の偶数のとき、2^n-1は3の倍数であることを示せ。
(2)pを素数とし、kを0以上の整数とする。2^(p-1)-1=p^kを満たすp,kの組を全て求めよ。
(※^の後は指数を表します。2^n-1は2のn乗-1、2^(p-1)-1は2のp-1乗-1です)

(1)は割愛しますが、n=2l(lは自然数)とかと置いて二項定理で分解して3で括ったり、帰納法を使えばいいと思います。とにかく2^n-1が3の倍数だと分かればいいです。

問題は(2)ですね。先程言った通り、誘導を上手く使えないかという点からとにかく問題を見ましょう！
まず見るべき点は式の形が左辺と似ている所です。誘導が使えそうですよね。

誘導を上手く使うコツですが、「誘導の部分と問題文の該当部分の違いを上手く見分けること」です。今回であればnがp-1に変わっています。また、(1)でnは"正の偶数"でしたが、p-1は"素数-1"ですよね。

ここの違いは何かあるでしょうか？？

まず整数問題で素数が出たら、「2とそれ以外」という見方をするのは演習量をこなせば分かってきます。素数の中でも2だけ偶数で稀有、と認識できていればOKです。(ここは基本問題的な解法暗記の部分)

素数-1は、素数が2のときだけ奇数、素数が2以外のときは偶数になりますよね！

ですので、2か2じゃない素数かで分けます。2じゃない素数のときは(1)の条件と一致するので使えそうですよね。まずは使いましょう！

○pが2以外の素数のとき
(1)より左辺は3の倍数です。ということは右辺も3の倍数になります。p^k、つまり素数の累乗が3の倍数ということはpは3以外ありえないですよね。ここは素数ならではです。
ですのでp=3から左辺に代入するとk=1と決まります。

○pが2のとき
代入していくとk=0になりますね。

以上から(p,k)=(3,1),(2,0)となりました！

このように、「基本問題の解法はすぐに出ておくようにする」「誘導から常に考えていく(誘導と問題文の違いを認識し、見分けていく)」ことの重要性がわかったと思います。また、基本問題というのは、教科書や青チャートにある典型問題もそうですが、素数は2とそれ以外に分ける、といったような"応用問題でよく出てくるテクニック"もそうです！これは演習量を詰まないと中々インプットされないので、「演習量が大切」なのも再認識できるでしょう。

また、1問に時間をかけて思考していくこともとても大切です！最終的にその標準問題の解き方を覚えられると役には立ちますが、思考力というのは思考する時間を取らないと中々伸びません。1問に10分は考える時間を取りましょう！

めちゃくちゃ長くなって申し訳ないですが、参考になれば幸いです！！

21:Tcbd,　1.問題の考え方がしっかり身についているか確認
　2.身に付けた考え方を応用問題に反映さへる練習

の2つを順にしっかり行うと良いです。おそらく数はこなしていると思うので、問題に対する考え方がちゃんとできているかどうか確認するだけで確実に点数は伸びます。大丈夫です。



まず、青チャートの全ての例題の問題の解き方が口頭で言えるかどうか確認してみてください。大事なことは各問題の筋道が見えるかどうかを確認することなので、あまり計算はせずに、時間をかけずに口頭で確認した方が良いです(確率や帰納法を使った証明など、ある程度計算しないと筋道が見えない問題は計算して大丈夫です)。たとえば、

　・ある複素数の問題→図形的な処理が必要&複素数のn乗の計算が出てくるので、z=A(cosθ+sinθ)と置いて解き進める
　・ある積分の計算問題→置換積分でルートを外す
　・ある数列の問題→階差数列に変形して一般項を求めた後、元の数列の一般項を求める
　・ある関数の問題→xの二次の係数がaなので、aの値を±, 0で場合分けして考える

などのように簡単に確認すると良いです。このとき、理解度ごとに問題番号の上に印を付けると良いです。たとえば、

　論理的に考え方が言えた→☆
　考え方が言えた→◯
　考え方を説明できないけど解けそう→⬜︎
　全くわからない→×

という具合です。

×がついた問題は、もう一度解き直し&考え方の習得を図りましょう。

⬜︎がついた問題は、ペーパー上の手グセによって解けているだけですので、しっかりと考え方を身につけましょう。

◯がついた問題は、なぜその考え方になるのか、基礎知識と結びつけてみましょう。先ほどの一つ目の問題の例で言うならば、

　複素数をz=A(cosθ+sinθ)と置いて解いたのはなぜか
→複素数の掛け算の図形的意味を捉えやすい&ド・モアブルの定理が使えるから

と言う具合です。

こうして、全ての例題が☆あるいは◯になれば、弱点は消えます。

これをするだけで、だいぶ数学の力は上がります。



あとは、今までに受けた模試(今年)の問題, 一対一対応の問題を実際に手を動かして解いてみて、ひたすら身に付けた考え方を反映させる練習をしましょう。問題文を読んで、

  「aという条件でbを求めるのであれば、筋道はcという考え方で、その中でdという考え方を使えば良いな」

というように、考え方がクリアに浮かぶことが理想です。わからなかったとしても、解説を見て、使われている考え方は既知のものであることを確認して吸収することが大事です。



また、理科大は数3の微積分で難しめの問題が出ることが多いので、微積の計算演習は特に積むべきです。頑張ってください！22:Tf9c,数学を根本的に理解する。
という勉強方法は、言葉で説明すると少し難しいので、ほんの少しだけここでやっていみたいと思います。


例えば、弧度法の中で「ラジアン」というのが出てくると思います。これは、「2π = 360°」を基準に考えよう。という風に習ったと思います。このラジアンを使って、扇形の弧の長さを求める公式で、「L = rθ」というのがあります。
皆さんの中に、この式を覚えているだけになっていて、意味を理解していない方はおられるでしょうか？

これは、小学校の時に習った、「円周の長さは2πr」というものを使っています。

どういうことかと言うと、「円を4分割した形である扇形のこの長さを求めよ。」という問題があった時、

小学校で習った式を使うと、求めるのは円周を4等分した長さなので、 ¼ × 2πr = ½πr

ラジアンを使って解くと、中心角 90° は、ラジアンでは ½π なので、L = r × ½π = ½πr 

よって、答えはどちらの式を使っても、½πr になりました。

中学の知識では、L = 2r × π × 角度 / 360°
高校数学では、L = rθ
どちらの公式でも求められますが、公式で見ると、弧度法を使った方が分かりやすいですよね。



という感じです。

公式をただ覚えるだけでなく、意味を理解しながら使えるようになる。ということが、根本的に理解するということになります。

先程の例で言うと、ラジアンというものはどういう意味を持つのか。ラジアンを使えるようになると、計算がどう変わるのか。というのを理解しておく必要があります。



これは、ほかの公式でも当てはまります。

例えば、加法定理の公式：
sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
これを使って2倍角の公式を作ります。
sin2a = sin(a+a) = sin(a)cos(a) + cos(a)sin(a)
          = 2sin(a)cos(a)


例えば、等差数列の和の公式：
S = ½n(a + l) (a：初項、l：末項、n：項数)
これに、末項：l = a + (n - 1)d (d：交差) を代入すると、
S = ½n(2a + (n - 1)d)
これが教科書に乗っている和の公式の2つになります。


こんなん知ってるよ。という方もいるかもしれません。ただ、これが数学を根本的に理解するということになります。

もう少し難しい話に行くと、
・解の公式ってなんであの形なの？
・平方完成ってなんでするの？
・円の方程式の意味は？
・微分と積分の関係は？
・ベクトルって何？
などなど……
キリがないので、この辺りにしておきますが、




要するに、公式の意味を理解することで、数学を本質的に理解しよう。という訳です。

しかも、これらは全てほとんどの教科書に載っています。理解しようと思うと、教科書を読めば大体のことが分かります。


数学を根本的に理解すると、問題を解くときに答え方がパッと思いつきやすくなると思います。さらに、公式の丸暗記では、時間が経つと忘れてしまうかもしれませんが、理論的に覚えていると、脳の構造的にも忘れにくくなるということもあります。なので、この勉強方法をオススメする方はたくさんいますし、私もこのやり方で勉強しました。

ただ、人によっては向き不向きがありますので、これを絶対に使った方がいいとは私は言えません。

実際に、私もこれで苦手だった数学が、だんだんと解けるようになったので、興味があれば、是非やってみてください。

長文失礼しました。是非参考になればと思います。2:["$","main",null,{"className":"px-4 pt-4 pb-4","children":["$","div",null,{"className":"max-w-3xl mx-auto w-full","children":[["$","div",null,{"className":"mb-8","children":["$","$L7",null,{"href":"https://unilink-app.onelink.me/isbO/h6xeh63x?advice=1dECNDIk2YrtxdXbi8nT","target":"_blank","children":["$","$L8",null,{"src":"/images/web_to_app_banner.jpg","width":3660,"height":1500,"sizes":"100vw","style":{"width":"100%","height":"auto"},"alt":"UniLink WebToAppバナー画像","className":"mb-4 rounded"}]}]}],["$","h1",null,{"className":"text-xl font-semibold mb-2","children":"√60x  を100に最も近い整数にするにはxをいくつにしたらいいか。ただしxは自然数とする"}],["$","div",null,{"className":"flex justify-between mb-4","children":[["$","div",null,{"className":"text-left text-xs text-caption","children":["クリップ(",2,") コメント(",2,")"]}],["$","div",null,{"className":"text-right text-xs text-caption","children":"9/15 18:28"}]]}],["$","div",null,{"className":"coach-mark 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