場合の数のどのあたりでつまずいてしまっているのか分かりませんが…… まずは組み合わせの問題なのか順列の問題なのか考えてみましょう。組み合わせと順列の違いはその名の通り順番を気にするか気にしないかです。 例えば AさんからEさんまでの5人を3人がけのベンチと2人がけのベンチの2つに座らせる場合の数 と AさんからEさんまでの5人を3人と2人の2グループに分ける場合の数 について考えた時、上は順列、下は組み合わせです。 上のパターンでは、3人がけのベンチに左からABCの順に座る場合とACBの順に座る場合はそれぞれ一通りとして数えます。ベンチに座る順番が違うと別の場合の数として区別するのです。 下のパターンでは、3人グループの中の順番は区別されません。3人の選び方がACBでもABCでも同じ場合の数です。 順列と組み合わせの区別ができれば、そこからは円順列など少しずつレベルを上げていくだけです。 場合の数が苦手という方は、上で述べた区別をする/しないが曖昧になっていることが多いです。この辺りについては「ハッと目覚める確率」という本がオススメですので是非一度読んでみてください。

具体例を使って説明していきます。 まず階乗n!についてです。 生徒8人を1列に並べる方法は何通りか A. 8!通り 階乗はその人数の並べ方がいくつかを表しています。 次にnPrについてです。 生徒が8人おり、そのうち5人を選んで並べる方法は何通りか A. 8P5通り(Pの左の数が8で右の数が5ということです。) nPrはある人数の人達から何人かを選んで並べる方法がいくつかを表しています。 最後にnCrについてです。 生徒が8人おり、そのうち5人を選ぶ方法は何通りか A. 8C5通り nCrはある人数の人達から何人かを選ぶ方法がいくつかを表しています。 階乗とnPrとnCrについて説明しましたがひとつ気づくことはありませんか。 日本語で表すと nPrは選んでそれらを並べる方法 nCrは選び方 階乗は並べ方 です。つまりnPrにnCrと階乗が含まれています。 式で表すと8P5＝8C5×5! 右辺が表しているのは8人の中から5人を選び(8C5)、その人たちを並べる(5!)方法を表しています。8P5と意味は全くおなじですね。 具体例で説明してきましたが、一般化すると nPr＝nCr×r! というような関係になります。実際にやれば分かりますが、式を展開しても右辺も左辺も同じ形になります。なのでPを一切使わなくてもCや階乗などを使えばどの問題も解けます。確かに言われてみればPというのはなくてもいいものですね。個人の予想ですが、Pを使うと答案を書くのが楽になるから色んな参考書の解答で書いてあるのでしょうかね。 Pを使うかどうかは自由ですが、PとCを使い分けるのが面倒くさいなら、問題が選び方を指してるのか並べ方を指しているのかを意識しながらCや階乗で解くのがいいでしょう。個人的にはPを使わないでとくのがおすすめです！もちろん使ったからといって悪いわけではないですよ！

このような問題のコツは「階差数列を考えること」です。特に、1段階でダメなら2段階、3段階と階差をとって行くことで解けることがよくあります。ぜひ試してみてください。 ところで実は、このような問題は基本的に大学入試では出題されません。出題されたとしたら、それは出題ミスに類するものです。その理由は出した答えが必要十分条件になり得ないからです。 例えば 2,4,6,‥ のような数列があったとしましょう。確かにこれだけだとAn＝2nの数列のように思えます。しかし一方でこれをフィボナッチ数列だと見ることもできてしまいます。つまり、 A＿n+2＝A＿n+1＋A＿n、A₁＝2、A₂＝4 という漸化式で定まる数列と見ることもできるわけと見ることもできるわけです。 ということで答えが一つに定まらないということがあります。なので大学入試での出題はほとんどありません（新潟大が出題していましたが、かなり批判されていました）。ですから、この手の問題が解けないことはあまり問題にならないことが多いです。なのであまりこのような問題に固執せずに、数列の単元であれば例えば漸化式の解法であったり、群数列に慣れることであったりに注力した方が数学の点数に対する貢献度は高いと思います。

　こういった問題独自の定義は、だいたい文字を含んでいることが多いです。例えば、 ・「nを正の整数とし、3^nを10で割った余りをanとする。」（東京大2016文系） ・「正の整数nの各位の数の和をS(n)で表す。」（一橋大2018） ・「nを2以上の整数とする。金貨と銀貨を含むn枚の硬貨を同時に投げ、裏が出た金貨は取り去り、取り去った金貨と同じ枚数の銀貨を加えるという試行の繰り返しを考える。初めはn枚すべてが金貨であり、n枚すべてが銀貨になった後も試行を繰り返す。k回目の試行の直後に、n枚の硬貨の中に金貨がj枚だけ残る確率をPk(j)（0≦j≦n）で表す。」（東北大2019文系） のように。あなたが挙げて下さった例でもそうですね。 　ご存知のように、数学で文字が使われるのはそこに入る値が不特定であるときなので、逆にいえば、自分で具体的な値を代入して実験してみれば良いわけです。k-連続和でいえば、m=1、k=2とすると、3＝1+2という等式になり、3は2-連続和であることになります（相談文のk+1はおそらくkー1の間違いですね。でなければ、nはk+2個の連続する自然数の和になってしまうので）。ちゃんと、n(3)がk(2)個の連続する自然数(1→2)の和であるという定義に則ってますね。2019年文系の確率も、例えばk＝1を代入してみると、P1(j)は「n枚の金貨を同時に投げ、そのうちj枚が表で他が裏になる確率」のことを言っているのだとわかります（ちなみにこれは小問⑴）。反復試行の確率を考えればすぐ解けますね。すると、次はk＝2、その次はk＝3、と実験数をどんどん増やしていけば、Pk(j)の内容もいずれわかるはずです。試行の手順上、残るj枚は必ず全ての試行において表でなければならず、他方それ以外の金貨はすべて、k回のうちのどこかで裏が出ればいい（全て表で残る場合の余事象）わけですから、「n枚の金貨のうち、k回の試行の直後に残るべきj枚はk回とも全て表が出て、それ以外のn−j枚はk回の試行で少なくとも一回裏が出る確率」とわかります。ここまで日本語として簡略化できれば、Pk(j)（特に、k≧2）の値もそこまで苦戦せずに出せそうですね（ちなみにこれは小問⑵）。 　このように、なるべく簡単な値から代入して実験を繰り返すことで、独自の定義が何を言っているのかは帰納的に理解できることが多いです。文字が多かったり、分かりにくい表現だったりして、複雑で難しく感じる定義が出てきたら、まずは実験してみることを心がけると良いと思います。文系の問題ですが、もしまだ解いてない場合はネタバレになってしまい申し訳ございません。

場合の数は苦手な人が多いからこそ、受験で頻出の分野ですよね。しんさんの質問に順を追って回答します。 1. 樹形図を使うべき場面について すべての問題を樹形図で処理する必要はありません。典型的な順列・組み合わせの計算は公式で一気に進めた方が早いです。むしろ、樹形図で考える方が難しい問題もいくらか存在します。 ただし、 ・組み合わせの全パターンを回答する問題 ・公式に当てはまらない(単純化することが難しい)問題 など、一部の問題では樹形図を用いて解く方が良いこともあります。 樹形図のメリットは数え上げとパターンの視覚化にあるため、これらに当てはまるか否かで樹形図を用いる判断をするのが良いと思います。 2. 樹形図を正確に書くためのコツ これは受験期に私が一番意識していた部分です。以下の2つを徹底していました。 ・段階を揃えて書く 1段目は何を選ぶ段階なのか、2段目は何なのかなど段階を必ず揃えて描くことで、全体が整理されます。段階が曖昧になると枝が乱れて数え漏れが起きるので、ここは丁寧に。 ・同じ構造はまとめる 総数が多い問題はすべて書いていたらかなりのタイムロスになります。私は最初の1つだけ詳しく書き、それ以外で同じ形になりそうなら×(かける)○のように乗算でまとめるようにしていました。 樹形図はあくまでも理解のツールであり、書くことが義務ではありません。効率よく使うことが大切です。 3. 公式との対応について 公式は樹形図を圧縮したものとして理解すると良いかもしれません。 例えば、順列Pは段階ごとの枝の本数を積を用いて表したもの(分かりにくくてすみません)。公式を覚えるというより樹形図で自然に出てくる積として扱うと、関連性が見えてくると思います。 また、組み合わせCは順列Pの重複を割り算で消したもの。重複を許して樹形図を書くと、順番を考慮した組み合わせを考えることになり、同じセットが何通りも出ます。その重複を割り算で消したものがCであり、定義式からもPとの関係が見えてくるはずです。 場合の数は、抽象よりも構造を単純化した人が圧倒的に強くなります。樹形図は視覚化によって構造を単純化することができる道具です。樹形図を用いて解くことに固執せず、数多くの武器を使いこなすことが大切です。

センター試験の集合は、実数の集合を扱うことが多いため、数直線上に図示するのが有効なことが多いです。 目盛の間隔を正確に図示する必要はなく、それぞれの端の大小と、黒丸白丸があっているかが重要です。(黒丸の場合はその点を含む、白丸の時はその点を含まないことを表します。不等号に=が入っているかどうかの違いとも言えます。) 例えば、 p: x>1 q:x≦2 のように与えられていた時、右向きの数直線上に左から1と2の点を書きます。 pについては、x>1(つまり「xは1より大きい」)であることから、先ほど書いた1の点に白丸を書き、そこから右上がりに少し直線を書き、そこから右向きに直線を伸ばします。新幹線のような形になります。この形は、1の点を含まないことを表すもので、白丸と同じ意味ですが、ぱっと見で分かるように両方使います。また、この線がpであることをどこかに書いておいてください。 qについては、x≦2(つまり｢xは2以下｣)であるので、2の点に黒丸を書き、そこから真下に少し直線を書き、左向きの直線を伸ばします。こちらは、電車のような形になります。この形は、2を含むことを表すもので、黒丸と同じ意味です。こちらの線にも、qであることを書いておいてください。 このように、範囲を一つ一つ図示していくと、次のようになります。 _______________ p / 2 ---------○-----●------->x 1 | q --------------- これを見れば、「pかつq」や、「pまたはq」「p⇒q は真か偽か」はすぐに分かるはずです。たとえば｢pかつq｣なら、pとqが重なっているところなので、1<x≦2になります。｢pまたはq｣ならば、pとqの少なくともどちらかがある範囲なので、xは全ての実数になりますね。｢p⇒qは真か偽か｣については、pの中にqが含まれていないので、pならばqとはいえません。よって、偽となります。 上図の縦棒や斜め棒の長さを条件ごとに変えれば、一つの数直線にもっとたくさんの条件を書き込めます。そのようにして、一つの数直線に与えられた条件全てについて書いておくと、かなり簡単になると思います。 また、「(pかつq)または(rの否定)」といわれたときは、pとqとrとは別に、「pかつq」や｢rの否定｣についても書くと、分かりやすくなります。 加えて、たまに、条件式をそのまま使うと面倒くさいことがあります。そういう場合は、対偶を取るのが良いです。(そこまで多くはないし、絶対になければ解けないわけではないため、これ以後ついては忘れても大丈夫です) 「p⇒q」と、「(qの否定)⇒(pの否定)」(対偶)は同じ意味です。また、[(aかつb)の否定]と[(aの否定)または(bの否定)]は同じ意味です(ド・モルガンの法則)。これらをつかうことで、 ・｢または｣を｢かつ｣に変換できる ・aやbの代わりにaの否定やbの否定を使える という利点があります。このような利点が使えそう！と思ったら使ってみてください(とりあえずわかんなかったら対偶とってみる、っていうのも一つの手ではあります)。 ※(rの否定)などは、本来はrの上に横棒を書いて表します 至らないところもあったかもしれませんが、貴方の合格を願っています。それでは。

1対1対応を解いていると言うことなので、おそらく基本的な問題はこなしてきたという前提でお話します。この場合、自分が今までに演習するにあたって行っていたノートの書き方と言うものがおそらくあると思います。なので、無理に1対1対応の解説の書き方に合わせる必要は無いと思います。 回答を作成していく時に、図を描くのは視覚的な情報で今何を自分が行っているのかをはっきりさせやすくするためです。 ですので、答案を作成していて自分が今何をしているのか明確に分かっているのであれば特に描く必要は無いと思います。 これが、図形やグラフとなってくるともちろんそうはいきませんが。 また、今回は数学がある程度出来るという前提のもと話しましたが、もし数学が苦手であって今からの網羅性の高い参考書(青チャートや基礎問題精巧)を行う場合は、答案の書き方から何まで全て真似をすれば良いと思います。

かきふらいさん初めまして。 文系ですが、回答させていただきます。 本回答の構成は以下です。 ①数え落とした5通りはなにか ②再考察が合っているか ③数え上げる際のポイント 以上3点です。 ①数え落とした5通りはなにか 結論としては、端が白玉になる場合が想定されていないかなと思います。 ex.●◯●●◯●●◯●●◯●◯●◯ 上記のような場合です。 ②再考察が合っているか 結論、誤りです。 本問の場合、同色の玉に区別は存在しません。 区別する場合は玉に番号が振ってあったりする場合でしょう。本問のように、玉を「色」でしか判別していない場合、区別する必要がないのです。 ③数え上げる際のポイント 質問が若干抽象的なので、回答者様の解法に近いもので解く場合、私なら以下のように解きます。 まずは、解答のための必要条件を具体的に導きます。 必要条件は、 「白玉同士は隣接しない」 「赤玉は白玉に隣接する」 以上の2つです。 したがって、初期配置は以下のようになります。 ◯●◯●◯●◯●◯●◯ 上記のように、赤5個、白6個を配置できます。残る赤4個をどこに配置するかですが、以下のようになります。 1◯●2◯●3◯●4◯●5◯●6◯7 つまり7箇所、赤を置く場所があります。なお、１つの場所につき置けるのは1つまでです。一見、「◯●」の間に置く場合も考えた方が良さそうな気がしますが、これは考慮する必要がありません。なぜなら、先ほど述べた通り、同色の玉はそれを区別する必要がないからです。 例えば、 「1◯●2」の2に赤を置けば、「1◯●●」となります。 次に、 「1◯●2」の◯●の間に●を置く場合を想定しても「1◯●●」となります。 このように、結果が同じになる事が分かるかと思います。 したがって、7箇所のスペースに4つの赤を置くケースを想定するので、 7C4＝35 よって、35通りとなります。

基礎は出来ていますでしょうか？ 場合の数や確率は、「どれだけ公式の構造がしっかり理解出来ているか」「自分の力でどれだけ丁寧に思考が出来るか」の2点が重視されている範囲だと思います。 まず公式の理解ですが、正直なところ矛盾するようですが場合の数や確率に公式はありません。この点は多くの学生が見落としていることで、実際確率を難しいと考える人は公式を全部覚えようとしています。例えば、重複組み合わせの公式は、本質的には順列を繰り返し使っているだけです。このようにして公式を細かく分解していき、自分で1から組み立てていけるようにしましょう。この時オススメの参考書は東京出版が出している大学への数学シリーズの「解法の探求・確率」という本です。内容はかなり難しいですが、じっくり時間をかけて理解を進めれば、一通りの公式は理解できるようになると思います。 次に思考練習ですが、これは確率だけの話ではなく、数学全体の問題になってきます。勉強方法としては、難しいめの問題を時間制限をせずに自分の頭で考えることを続けることでしょう。大切なのは、採点官に見せるつもりで記述をしっかりつくることでしょう。採点をする時に自分のどこに思考の穴があったのかがはっきり分かります。出来れば学校の先生に見てもらってもいいかもしれません。まずはプラチカ辺りから確率に限らず、数学の全範囲を対象にして手を付けてはいかがでしょうか。 最後にどの方にもお伝えしていますが、今は基礎をしっかり固める時期です。基礎を勉強することに手を抜かず、ゆっくりでも確実に勉強していくのが大切ではないでしょうか。 長文駄文失礼致しました。これからのご健闘をお祈りしております！

規則性というのは、各分野によって見抜くコツがあります。確率・数列などが多いですが、少し例を挙げます。 1)に対する回答 →規則性を見つけるということ以外にやれることは全てやったかが重要です。つまり、規則性というものが最初は頭になくても、問題文の情報からやれることは全てやった上で、方程式が足りないなどの問題に直面すれば必然的に、一見の条件では足りない→隠された規則性を発見するというルートを辿れます。 →大学ごと好きな規則性の傾向があります。例えば東大は、確率や確率漸化式において偶奇性が大好きです。というかもうほぼこれです。 なので規則性を必要とする問題を解いた後、それをノートにまとめてください、具体的には、問題・必要な規則性の種類(偶奇性、連続性、対称性等)、大学名を記して、問題を解いて行き詰まった時にこのノートのことを少し思い出して試してみるとほとんど解けるようになりました。 2)に対する回答 これは整数でよくある表ですよね。 自分がわかりやすければいいと思いますが、難しいのは規則性があるということに気づくことであって規則性があるかもしれないと思った段階でまとめるのは正直時間が勿体無い感はあります。ただこれは人によると思っていて、それで見つけやすいなら絶対やるべきですね。 3)に対する回答 正直規則性という言葉自体が曖昧なんですよね。広く取れば整数の問題ってほとんど規則性に基づいてると思います。それ以外では、確率漸化式(図形が絡んでいる)、極限(無限に小さくなり続ける図形等)、確率などはそもそも規則性の出題頻度が多いという認識は必要です。 1.数列(漸化式を自力で建てる型) 最難関大学で出題される単独の漸化式の中には、見た目が複雑で全く解放方針が立たない問題があります。(例えば以下のような東工大の問題) これを見たら焦ってしまう人も多いでしょうが、逆にこう考えてみてください→こんなみたことない漸化式普通に考えて解けるわけがない。 この問題は易しくて、(1)で誘導がありますが意味わからん漸化式を解けと言われる問題は1、2、3、4項目くらいまで実際に求めてみると、規則性が見えてくることがあり、それを帰納法で示す。という定番の流れがあります。上の問題は その良い例なのでやってみてください。 (少し発展的な帰納法を使うので、行き詰まったら「人生帰納法」などと調べてみると解けると思います。) 2.確率漸化式 これは、確率漸化式の一般的な解き方をマスターした上で、規則性を見つける必要のある問題を解くことが重要です。 重要なのは、「確率漸化式の一般的な問題は全て解けるのに解けない」という気づきです。なぜなら、そもそも確率漸化式の一般的な問題が解けないなら、解けない理由が規則性の有無にあると言い切れないからです。(例えば以下のような問題) これは、規則性を無視して一回解こうとすることが重要で、方程式の数に対して変数が多く解けないことに気づき、図形が綺麗(対称的)であることを考慮して規則性を探すという流れです。 (言い方は悪いですが、仕方がないから無理やり規則性を見つけ出すというイメージ)